Функции Нескольких Переменных Презентация

Функции Нескольких Переменных Презентация.rar
Закачек 2215
Средняя скорость 2842 Kb/s
Скачать

Функции Нескольких Переменных Презентация

Презентация была опубликована 4 года назад пользователемВладислава Важенина

Похожие презентации

Презентация на тему: » ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Определение функции нескольких переменных Геометрическое изображение функции двух переменных Частное и полное приращение.» — Транскрипт:

1 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

2 Определение функции нескольких переменных Геометрическое изображение функции двух переменных Частное и полное приращение функции Предел и непрерывность функции нескольких переменных

3 § 1. Определение функции нескольких переменных y x S = xy z x y V = xyz

4 Определение 1.1 Если каждой паре (x,y) значений двух, независимых друг от друга, переменных величин x и y, из некоторой области их изменения D, соответствует определенной значение величины z, то говорят, что z есть функция двух независимых переменных x и y, определенная в области D. или

5 Способы задания функции двух переменных Табличный (таблица) Аналитический (формула) Графический (график) Словесный (словесное описание функциональной зависимости) 011, , x y S = xy

6 Определение 1.2 Совокупность пар (x,y) значений x и y, при которых определяется функция z = f(x, y), называется областью определения или областью существования этой функции. Геометрически: если каждую пару значений x и y изобразить точкой М(х, у) в плоскости Оху, то область определения функции изобразится в виде некоторой совокупности точек на плоскости.

7 Линия, ограничивающая область определения – граница области Точки области, не лежащие на границе – внутренние точки области Область, состоящая из одних внутренних точек – открытая (незамкнутая) Если к области относятся и точки границы – замкнутая область Определение 1.3 Область называется ограниченной, если существует такое постоянное С, что расстояние любой точки М области от начала координат О меньше С, т. е. |OM|

8 Пример 1: Определить естественную область определения функции z = 2x – y Аналитически выражение z = 2x – y имеет смысл при любых значениях x и y. Следовательно, естественной областью определения функции является вся плоскость Оху. х у О Рис. 1

9 Пример 2: Определить естественную область определения функции Для того, чтобы z имело действительное значение, нужно, чтобы под корнем стояло неотрицательное число, т. е. х и у должны удовлетворять неравенству или Все точки М(х, у), координаты которых удовлетворяют указанному неравенству, лежат в круге радиуса 1 с центром в начале координат и на границе этого круга. 1 у О х 1 Рис. 2

10 Пример 3: Определить естественную область определения функции Так как логарифмы определены только для положительных чисел, то должно выполняться неравенство или у х О у= -х Это значит, что областью определения функции z является половина плоскости, расположенная над прямой у = – х, не включая самой прямой (рис. 3) Рис. 3

0, у > 0 (т. к. основание треугольника и его высота не могут ни отрицательными, ни нулем). Областью определения рассматриваемой фу» title=»Пример 4: Площадь треугольника S с основанием х и высотой у. х у Областью определения этой функции является область х > 0, у > 0 (т. к. основание треугольника и его высота не могут ни отрицательными, ни нулем). Областью определения рассматриваемой фу» class=»link_thumb»> 11 Пример 4: Площадь треугольника S с основанием х и высотой у. х у Областью определения этой функции является область х > 0, у > 0 (т. к. основание треугольника и его высота не могут ни отрицательными, ни нулем). Областью определения рассматриваемой функции не совпадает с естественной областью того аналитического выражения, с помощью которого задается функция. Рис. 4 0, у > 0 (т. к. основание треугольника и его высота не могут ни отрицательными, ни нулем). Областью определения рассматриваемой фу»> 0, у > 0 (т. к. основание треугольника и его высота не могут ни отрицательными, ни нулем). Областью определения рассматриваемой функции не совпадает с естественной областью того аналитического выражения, с помощью которого задается функция. Рис. 4″> 0, у > 0 (т. к. основание треугольника и его высота не могут ни отрицательными, ни нулем). Областью определения рассматриваемой фу» title=»Пример 4: Площадь треугольника S с основанием х и высотой у. х у Областью определения этой функции является область х > 0, у > 0 (т. к. основание треугольника и его высота не могут ни отрицательными, ни нулем). Областью определения рассматриваемой фу»>

12 Определение 1.3 Если каждой рассматриваемой совокупности значений переменных x, y, z, …, u, t соответствует значение переменной w, то w называют функцией независимых переменных x, y, z, …, u, t и записывают Область определения функции четырех или большего числа переменных не допускает простого геометрического истолкования. или

13 § 2. Геометрическое изображение функции нескольких переменных определенную в области G на плоскости Оху, и систему прямоугольных декартовых координат Охуz (рис. 5). Рассмотрим функцию х у z z=f(x,y) P O х у G Получили в пространстве точку Р с координатами х, у, z = f(x, y). Рис. 5

14 Определение 2.1 Геометрическое место точек Р, координаты которых удовлетворяют уравнению называется графиком функции двух переменных. Уравнениев пространстве определяет некоторую поверхность. Т. о., графиком функции двух переменных является поверхность, проектирующаяся на плоскость Оху в область определения функции. Рис. 6 Параболоид вращения

15 § 3. Частное и полное приращение функции нескольких переменных Рассмотрим функцию Величину называют частным приращением z по х (у = const). Величину называют частным приращением z по y (x = const). Величину называют полным приращением функции z.

16 § 4. Предел и непрерывность функции нескольких переменных r M0(x0,y0)M0(x0,y0) x y O Рис. 7 M(x,y)M(x,y) Определение 4.1 Окрестностью радиуса r точки M 0 (x 0, y 0 ) называется совокупность всех точек (х, у), удовлетворяющих неравенствут. е. совокупность всех точек, лежащих внутри круга радиуса r с центром в точке M 0 (x 0, y 0 ).

17 Замечание: Если говорят, что функция f(x, y) обладает каким- либо свойством «вблизи точки (х 0, у 0 )» или «в окрестности точки (х 0, у 0 )», то подразумевают, что найдется такой круг с центром (х 0, у 0 ), во всех точках которого данная функция обладает указанным свойством. Определение 4.2 Число А называется пределом функции f(x, y) при стремлении точки M(x, y) к точке M 0 (x 0, y 0 ), если для каждого ε > 0 найдется такое число r > 0, что для всех точек M(x, y), для которых выполняется неравенство Имеет место неравенство 0 найдется такое число r > 0, что для всех точек M(x, y), для которых выполняется неравенство Имеет место неравенство»>

18 Определение 4.3 Пусть точка M 0 (x 0, y 0 ) принадлежит области определения функции f(x, y). Функция z = f(x, y) называется непрерывной в точке M 0 (x 0, y 0 ), если имеет место равенство причем точка M(x, y) стремится к точке M 0 (x 0, y 0 ) произвольным образом, оставаясь в области определения функции Определение 4.4 Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области называется непрерывной в области.

19 Пример 6: Вычислить предел Решение: В точке (0; 2) функция определена, т. к. можно вычислить значение функции в этой точке. Поэтому точка (0; 2) является точкой, принадлежащей области определения функции. Тогда для вычисления предела воспользуемся равенством Получим: Ответ:

20 Пример 7: Вычислить предел Решение: Точка (0; 3) не принадлежит области определения функции, т. к. при х = 0, имеет место неопределенность 0/0. Поэтому умножим и разделим числитель и знаменатель дроби на величину у и произведем замену u = xy. Получим: Ответ:

21 Определение 4.5 Если в некоторой точке N 0 (x 0, y 0 ) не выполняется условие то точка N 0 (x 0, y 0 ) называется точкой разрыва функции z = f(x, y). Условие непрерывности может не выполняться в следующих случаях: 1. z = f(x, y) определена во всех точках некоторой окрестности точки N 0 (x 0, y 0 ), за исключением самой точки N 0 (x 0, y 0 ); 2. z = f(x, y) определена во всех точках окрестности N 0 (x 0, y 0 ), но не существует предела 3. z = f(x, y) определена во всех точках окрестности точки N 0 (x 0, y 0 ) и существует предел но

22 Пример 6: Функциянепрерывна при любых значениях х и у, т. е. в любой точке плоскости Оху.

23 Свойства функции нескольких переменных, непрерывной в замкнутой и ограниченной области Свойство 1. Непрерывная функция в замкнутой ограниченной области D достигает по крайней мере один раз наибольшего значения М и наименьшего значения m Свойство 2. Если функция f(x, y, …) непрерывна в замкнутой и ограниченной области D и если М и m – наибольшее и наименьшее значение функции f(x, y, …) в области, то для любого числа µ, удовлетворяющего условию m

24 Следствие свойства 2. Если функция f(x, y, …) непрерывна в замкнутой и ограниченной области и принимает как положительные, так и отрицательные значения, то внутри области найдутся точки, в которых функция f(x, y, …) обращается в нуль.

  • Скачать презентацию (0.2 Мб)
  • 22 загрузки
  • 0.0 оценка

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5

Аннотация к презентации

Презентация для школьников на тему «Функции нескольких переменных» по математике. pptCloud.ru — удобный каталог с возможностью скачать powerpoint презентацию бесплатно.

Математический анализ

Составитель: Никулина Л.С., старший преподаватель кафедры Математики и Моделирования

Основная литература: Л. Д. Кудрявцев. Курс математического анализа, т. 1, 2 Г. Н. Берман. Сборник задач по курсу математического анализа. Н. С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления, т. 1, 2.

Дополнительная литература: Кудрявцев В. А., Демидович Б. П. Краткий курс высшей математики Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах, ч. 1, 2.

Учебно-методические разработки: Л. Я. Дубинина, Л. С. Никулина, И. В. Пивоварова. Курс лекций по высшей математике, ч. 1, 2.-Владивосток, изд. ВГУЭС, 2001. Сборник задач по высшей математике. Сост. И. В. Пивоварова, Л. Я. Дубинина, Л. С. Никулина. -Владивосток, изд. ВГУЭС, 2002.

Функции нескольких переменных Дифференциальные уравнения 1-го, 2-го и более высокого порядков Кратные интегралы Числовые ряды Степенные ряды Ряды Фурье

Функции нескольких переменных

Определение функции двух переменных

Определение. Если каждой паре (x,y) значений двух независимых друг от друга переменных величин xи y из некоторого множества Dсоответствует единственное значение величины z, а каждому z соответствует хотя бы одна пара (x,y), то мы говорим, что zесть функция двух независимых переменных xи y, определенная в D.

При этом пишут: Если паре соответствует число , то пишут Или называется частным значением функции при

График функции 2-х переменных

Геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению z= =f(x,y), называется графиком функции двух переменных.

График функции

Функцию двух переменных можно изобразить графически. Каждой паре (x, y)D ставится в соответствие точка M(x, y,z), принадлежащая графику функции и являющаяся концом перпендикуляра PM к плоскости Oxy. O z M(x,y,z) z = f (x,y) y D P(x,y) х

На рисунке изображен конус x y z o

Предел функции 2-х переменных

-окрестностью точки называется совокупность всех точек, лежащих внутри круга радиуса с центром в точке .

Таким образом, -окрестностью точки является множество точек, УДОВЛЕТВОРЯЮЩИХ НЕРАВЕНСТВУ . о х у

Определение предела функции 2-х переменных

Число А называется пределом функции z=f(x,y) при , если для любого числа найдется такая -окрестность точки ,что для всех точек М(х,у), лежащих в этой окрестности , выполняется условие При этом пишут: или

Функция нескольких переменных называется бесконечно малой, если ее предел равен нулю. Правила предельного перехода, установленные для функции одной переменной, остаются справедливыми.

Непрерывность

Функция z=f(x,y)называется непрерывной в точке , если выполнены условия: 1)функция определена в точке , 2)если существует , 3)если

Непрерывность

Другое определение: Функция z=f(x,y) называется непрерывной в точке , если в этой точке бесконечно малому приращению аргументов соответствует бесконечно малое приращение функции, т. е. где .

Областью (открытой областью) называется множество точек плоскости, обладающее свойствами: каждая точка области принадлежит ей вместе с некоторой окрестностью (свойство открытости); всякие две точки области можно соединить непрерывной линией, целиком лежащей в этой области (свойство связности).

Точка называется граничной точкой области G, если любая окрестность этой точки содержит как точки области G, так и точки, ей не принадлежащие. Множество всех граничных точек области называется ее границей. Если к открытой области присоединить ее границу, то полученное множество точек называется замкнутой областью.

Область называется ограниченной, если можно подобрать круг, полностью ее покрывающий. В противном случае область называется неограниченной

Функция называется непрерывной в области G, если она непрерывна в каждой точке этой области.

Свойства функции, непрерывной в замкнутой области

Если функция непрерывна в ограниченной замкнутой области, то она в этой области 1)ограничена: ; 2) принимает наименьшее и наибольшее значения (соответственно m и M); 3) принимает хотя бы в одной точке области любое численное значение, заключенное между m и M.

Частные приращения функции 2-х переменных

Разность =f (x+x, y) –f (x, y) называется частным приращением функции f (x, y) по переменной x. Разность =f (x, y+y) –f (x, y) называется частным приращением функции f (x, y) по переменной y.

Частные производные

Определение. Если существует = , то он называется частной производной (первого порядка) функции z = f (x, y) по переменной x и обозначается

Аналогично определяется частная производная по переменной y: = Эту производную обозначают

Заметив, что вычисляется при неизменном y, а – при неизменном x, можно сделать вывод: правила вычисления частных производных совпадают с правилами дифференцирования функций одной переменной, но при вычислении полагают , а при вычислении полагают .

Производные высших порядков

Частной производнойn-го порядка функции нескольких переменных называется частная производная первого порядка от частной производной (n-1)-го порядка той же функции. Например, для функции 2-х переменных имеем:

Равенство смешанных производных

Теорема. Две смешанные частные производные одной и той же функции, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой при условии их непрерывности. Так, ,

Математический анализ Составитель: Никулина Л.С., старший преподаватель кафедры Математики и Моделирования

Литература Основная литература: Л. Д. Кудрявцев. Курс математического анализа, т. 1, 2 Г. Н. Берман. Сборник задач по курсу математического анализа. Н. С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления, т. 1, 2.

Дополнительная литература: Кудрявцев В. А., Демидович Б. П. Краткий курс высшей математики Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах, ч. 1, 2.

Учебно-методические разработки: Л. Я. Дубинина, Л. С. Никулина, И. В. Пивоварова. Курс лекций по высшей математике, ч. 1, 2.-Владивосток, изд. ВГУЭиС, 2001. Сборник задач по высшей математике. Сост. И. В. Пивоварова, Л. Я. Дубинина, Л. С. Никулина. -Владивосток, изд. ВГУЭиС, 2002.

Содержание Функции нескольких переменныхДифференциальные уравнения 1-го, 2-го и более высокого порядковКратные интегралыЧисловые рядыСтепенные рядыРяды Фурье

Функции нескольких переменных Лекция 1

Определение функции двух переменных Определение. Если каждой паре (x,y) значений двух независимых друг от друга переменных величин x и y из некоторого множества D соответствует единственное значение величины z, а каждому z соответствует хотя бы одна пара (x,y), то мы говорим, что z есть функция двух независимых переменных x и y, определенная в D.

Обозначения При этом пишут: Если паре соответствует число , то пишут Или называется частным значением функции при

График функции 2-х переменных Геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению z= =f(x,y), называется графиком функции двух переменных.

График функции Функцию двух переменных можно изобразить графически. Каждой паре (x, y)D ставится в соответствие точка M(x, y,z), принадлежащая графику функции и являющаяся концом перпендикуляра PM к плоскости Oxy.

Предел функции 2-х переменных Окрестностью радиуса R точки называется совокупность всех точек, лежащих внутри круга радиуса R с центром в точке , кроме самой точки.

Предел функции 2-х переменных Таким образом, окрестностью точки является множество точек, УДОВЛЕТВОРЯЮЩИХ НЕРАВЕНСТВУ

Определение предела функции 2-х переменных Число А называется пределом функции z=f(x,y) при , если для любого числа найдется такое число R>0, что для всех точек М(х,у), лежащих в окрестности радиуса R точки , выполняется условие При этом пишут: или

Непрерывность Функция z=f(x,y) называется непрерывной в точке , если выполнены условия: 1)функция определена в точке , 2)если существует ,3)если

Непрерывность Другое определение: Функция z=f(x,y) называется непрерывной в точке , если в этой точке бесконечно малому приращению аргументов соответствует бесконечно малое приращение функции, т. е. где .

Внутренние и граничные точки Линию, ограничивающую некоторую область D в плоскости Oxy, мы будем называть границей этой области. Точки области, не лежащие на границе области, мы будем называть внутренними точками области, если они принадлежат области вместе со своей окрестностью.

Открытая и замкнутая области Область, состоящую из одних внутренних точек, мы будем называть открытой или незамкнутой. Если же к области относятся еще и точки границы, то область называют замкнутой.

Ограниченная область Область называют ограниченной, если существует такое постоянное C>0, что расстояние любой точки M области от начала координат O меньше C, т.е. .

Наибольшее и наименьшее значения функции Теорема Вейерштрасса. Непрерывная функция в замкнутой ограниченной области D достигает по крайней мере один раз наибольшего значения M и наименьшего значения m.

Частные приращения функции 2-х переменных Разность = f (x+x, y) – f (x, y) называется частным приращением функции f (x, y) по переменной x. Разность = f (x, y+y) – f (x, y) называется частным приращением функции f (x, y) по переменной y.

Частные производные Определение. Если существует = , то он называется частной производной (первого порядка) функции z = f (x, y) по переменной x и обозначается

Продолжение Аналогично определяется частная производная по переменной y: = Эту производную обозначают

Производные высших порядков Частной производной n-го порядка функции нескольких переменных называется частная производная первого порядка от частной производной (n-1)-го порядка той же функции. Например, для функции 2-х переменных имеем:

Равенство смешанных производных Теорема. Две смешанные частные производные одной и той же функции, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой при условии их непрерывности. Так, ,


Статьи по теме